在欧几里得几何中，三角形的三个内角和等于180°是一个众所周知的定理。这个定理是怎样证明的呢？我们先来回顾一下。
欧几里得几何中证明三角形内角和等于180°的方法
设有三角形ABC，其三个内角分别记为∠A，∠B和∠C。在顶点A处延长BA至D，并过顶点A作一条直线AE与BC平行。根据平行线的性质，我们就可得到∠B=∠EAD和∠C=∠CAE。于是可推出∠A+∠B+∠C=∠A+∠EAD+∠CAE=180°。
检查上述证明过程，我们发现，这里最为关键的是用到了下列命题：
命题1：在平面上，过一条给定直线l外的一点P，可以作一条而且只能作一条直线与给定直线l平行。
在几何中，人们通常称这一命题为欧几里得平行公理，或简称为平行公理。
这里，所谓公理是指非常基本的几何事实，是被公认成立而无需证明的，并作为今后推理的基本依据。欧几里得的《几何原本》中，列出了5条公理：
公理1：任意两点之间可以连一条线段；
公理2：线段可以任意延长；
公理3：以任意给定点为中心，可以用任意给定线段为半径作一个圆周；
公理4：所有直角都相等；
公理5（平行公理）：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
其实在《几何原本》中，平行公理的原始形式与上述形式有所不同，后人把它改成与原始形式等价的这种形式。其原始形式为：如果两条线段与另一条直线相交，所成的同侧内角之和小于两个直角，那么这两条直线段在这一侧无限延长后必相交。
前4条公理较为简单明了，很容易被认可接受。唯独公理5让人觉得有点复杂，特别是其原始形式，看上去更像是一条定理。于是，很早就有人试图证明它。这里，所谓证明就是用逻辑论证从前4条公理把它推导出来。
这种努力一直持续了上千年，不知耗费了多少有才华的数学家的精力与时间。曾经多次有人公开宣布已经证明了平行公理，但后来都查实，他们的证明中都用到了与平行公理等价但未加证明的命题，其结果是什么也没有证明。但他们的努力也没有白费，人们在此过程中发现了形形色色的与平行公理等价的命题。其中最为重要的是：平行公理与三角形的内角和等于180°这个命题等价。这也就是说，若前者成立则后者一定成立，并且反过来也对。
现在，我们来证明平行公理与三角形的内角和等于180°这个命题等价。前面已经证明，由平行公理可以推出三角形的内角和等于180°。现在我们只需要说明，从三角形内角和等于180°能推出平行公理。下面，我们假定任何一个三角形的内角和等于180°这一命题成立，要由此推出平行公理成立。
考虑一条直线l及直线外一点A。过A点作一条直线AB垂直于l，并交l于B点。然后，过A点作一条直线AC，使它垂直于AB。那么，AC所代表的直线一定平行于l。因为，如果不是这样，AC经过适当延长一定与l相交。设其交点为D，那么三角形ABD的内角和则大于180°，导致矛盾。这样，过A点我们已经作了一条直线与已知直线l平行。下面只要说明这样的平行线只有一条。假设过A点又有一条直线AC'平行于l，由三角形的内角和等于180°可以推出：两条平行线被另一线段所截，其内错角相等。于是，∠BAC'=90°。这表明AC与AC'代表同一条直线。这就证明了所要的结论。
用三角形内角和等于180°证明平行公理
通过上面的讨论，我们看到：离开平行公理，也就无法证明三角形的内角和等于180°。因此，不依靠平行公理而直接证明三角形内角和为180°的想法，同样会失败。
计算机生成的曲面
无处不在的三角形
历史上证明平行公理的努力不断失败，这促使人们开始从相反方向思考问题。既然欧几里得平行公理不能证明，那么用下面的公理替代它，其结果会如何呢？
命题2：在平面上，过一条直线l外的一点P，至少可以作两条直线与给定直线l平行。
著名德国数学家高斯，以及两位年轻数学家——俄国的罗巴切夫斯基与匈牙利的波尔约，先后做了这样的探索。他们用现在的命题2去替换欧几里得的平行公理，而保留欧几里得的其他公理不变，推演出一系列的几何命题。这些命题虽然与欧几里得几何不同，但也都是经过严格证明的，且相互之间不产生矛盾，从而形成了一个新的几何体系。高斯把这种新的几何学称为非欧几何，很多人也把它称为罗巴切夫斯基几何。命题2也就称为非欧几何平行公理。
不可能三角形
在这种新几何中，有些定理与欧几里得几何的一致，如描述三角形全等的SSS、SAS和ASA三个定理。但有更多的其他定理则与欧几里得几何大相径庭。在这种新几何中，每个三角形的内角之和小于180°。这样一来，在非欧几何中，不可能存在矩形（四个角都是直角的四边形）。由于没有矩形，三角形的面积也就不再等于底边乘高的一半。
在高斯看来，欧几里得几何适合于一个不大的范围。他很早就质疑欧几里得几何中三角形内角和等于180°在大范围内的必然性。他测量了欧洲三个山峰之间的夹角，希望证实在大范围中三角形的内角和小于180°，但因仪器的精度不够而以失败告终。
非欧几何的出现是人类在空间观念上的一次革命。在当时的数学界曾引起巨大的震动，并引发了激烈的争论。后来由于非欧几何的模型的发现，这种争论才逐步消失。非欧几何的建立，打破了欧几里得几何的“一统天下”。此后，出现了各种几何，它们从不同的公理体系出发，以不同的视角描述了现实世界的几何性质。最值得一提的是黎曼所建立的“弯曲空间的几何”。这种几何理论后来成为爱因斯坦广义相对论的数学基础。（李忠）
【科学人】罗巴切夫斯基
尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（1792—1856），俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一，独立发展了非欧几何。
人们在很长一段时间内尝试证明平行公理（等价于欧几里得第五公设）均未果。罗巴切夫斯基发现，如果否定第五公设，而假定“过直线外一点可以有多条直线不与原直线相交”这一对立命题，可以建立一种全新的几何学，却不产生任何矛盾。1826年，罗巴切夫斯基宣读了他关于非欧几何学的论文，未被通过。后来，他又用几种文字出版了自己的各种著作。直到去世后12年，他的这一工作才得到了承认。
【微问题】为什么在地球上向左转、起步走三次也能回到出发地？
【关键词】平行公理 非欧几何
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