单词 | 什么样的三角形其内角和不等于180° |
释义 | 什么样的三角形其内角和不等于180° 我们知道,平面上三角形的内角和等于180°,这是基于平面欧氏几何平行公理所得到的结论。欧氏几何平行公理可表述为:过一条给定直线外的一点,可以作一条而且只能作一条直线与给定直线平行。 如果将上述公理修改为:过一条直线外的一点,可以作至少两条直线与给定直线平行,就得到高斯、波尔约和罗巴切夫斯基等人发现的非欧几何。而如果将其修改为:过一条直线外的一点,不能作任何直线与给定直线平行,就得到另一种非欧几何,称为黎曼的非欧几何。 在高斯等人的非欧几何中,可以证明任何三角形的内角和均小于180°;而在黎曼的非欧几何中,任何三角形内角和均大于180°。可是,这样的结论和我们通常所认识的几何大相径庭:我们用直尺在纸上画出的任何一个三角形,其三个内角之和总是等于180°的。难道真的有内角和不等于180°的三角形吗?或者说,我们在什么地方可以找到这样的三角形呢? 经过长久的努力,人们发现,欧氏几何对应的是平面上的几何,而非欧几何可以对应于某些曲面上的几何。也就是说,内角和不等于180°的三角形可以在曲面上找到。读者可能又要问,所谓三角形,就是用直线段连接三个顶点所得到的图形,在曲面上有这样的直线段吗?那么,让我们先对什么是直线段作一下探讨吧。 在欧几里得的《几何原本》中,并没有对直线段给出明确的定义,只是指出过两点可以引一条直线段。但是,我们知道,两点间的连线以直线段为最短,反过来说,两点间的最短连线就是直线段。由此可知,所谓直线段就是连接两个点的最短连线。曲面上两个点自然也有其最短连线,因此,我们可以将曲面上两点间的最短连线当作曲面上的“直线段”。 比如,在球面上,连接两点的最短连线是大圆弧,即球面上过这两点的半径最大的圆周在这两点间的一段圆弧。也就是说,大圆弧就是球面上的“直线段”,大圆就是球面上的“直线”。在我们生活的地球上,赤道和所有的经线都是大圆,它们都可看作地球上的“直线”。事实上,如果我们在地球上朝一个方向直行,所走的路径就是大圆弧,但我们会认为走的是直线。可见将球面上的大圆当作直线是符合我们的直观感受的。将直线的概念做这样的延拓后,曲面上也就有“直线”了。由于曲面上的“直线”和我们通常理解的直线毕竟有所不同,因此数学上称其为“测地线”。 内角和不等于180°的三角形可以在曲面上找到 图1 现在,用大圆弧连接球面上三点所得到的图形就是球面上的三角形(称为球面三角形)。如果测量一下球面三角形的三个内角和,可以发现都是大于180°的(如图1)。例如,地球上由赤道和两条经线所围的三角形,其顶点为北极和赤道上两个点。由于经线垂直于赤道,这个三角形在赤道上的两个顶点处的内角都等于90°,加上北极处的内角,这三个内角之和必定大于180°。 内角和大于180°的三角形我们已经在球面上找到。事实上,球面几何就是黎曼的非欧几何的一个模型。那么,内角和小于180°的三角形呢?这个情形要复杂一些,这样的三角形可以在称为伪球面的曲面上找到,这是由意大利数学家贝尔特拉米发现的。伪球面是在空间直角坐标系Oxyz中,由Oyz平面上曳物线绕z轴旋转一周所得的曲面(如图2)。用伪球面上“直线”(即测地线)连接三点所形成的三角形的三内角和就一定小于180°(如图3)。 图2 图3 那么,除了球面和伪球面,还有什么样的曲面,其上的三角形内角和大于或者小于180°呢?这取决于曲面是如何弯曲的。大数学家高斯引入了一个量——曲率,用来描述曲面的弯曲方式和程度。在这里,我们无法给出高斯曲率的确切定义,但还是可以给出一些直观的介绍。平整的平面的曲率处处等于0,球面的曲率处处为正,而伪球面的曲率处处为负。曲率的正负可以这样看:曲面在一点附近的曲率为正时,过该点的测地线是向同一侧弯曲的;而曲面在一点附近的曲率为负时,过该点的测地线则会向不同的方向弯曲。 图4 例如,图4中球面上两条测地线都向下弯曲,而图4中伪球面上的两条测地线,黑色的向上弯曲,红色的向下弯曲。如果你在正曲率曲面上剪下一块,尝试将其压平,那么,靠近边缘部分会裂开,中间部位会皱起来;而在负曲率曲面上剪下一块压平的话,情况恰好相反,靠近边缘的部分会皱起来,开裂的将是中间部分。尽管这里的介绍不那么精确,你也应该已经对曲率的正负有一个直观的认识了。现在可以告诉你,在正曲率的曲面上,三角形内角和大于180°;在负曲率的曲面上,三角形内角和小于180°。 花瓶上的三角形内角和不等于180° 当然,一些曲面并不能保证曲率处处为正或处处为负。比如,救生圈的外侧曲率是正的,内侧曲率是负的。观察陶瓷花瓶表面,你会发现在瓶肚处曲率是正的,在瓶颈处曲率是负的。所以,如果我们在瓶肚上画一个三角形,它的内角和大于180°;而在瓶颈处画一个三角形,它的内角和就小于180°。(邱维元) 【科学人】波尔约 波尔约(1802—1860),匈牙利数学家,非欧几何的独立创建人之一。他曾潜心于欧几里得第五公设的证明。1820年左右,他转而研究新几何学,其中允许过直线外一点有一束直线不与原直线相交。他把结果告诉自己的父亲。父亲是大数学家高斯的好友,把儿子的研究成果寄给高斯。高斯对此表示称道,但不建议发表,因为他本人早就得到过类似结论,担心受攻击而决定不发表。波尔约为此深感受挫。1832年,波尔约的论文作为父亲一本著作的附录发表,未引起关注。直到去世后,他的工作才被数学界承认。 【微问题】你知道为什么从北京到旧金山的飞机要飞越阿拉斯加附近? 【关键词】非欧几何 黎曼几何 |
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