彭罗斯镶嵌
地砖是人们为了美化居住环境而发明的，它们的基本作用就是铺满地面，但并不是所有形状的地砖都能完成这个任务。铺满地面的最大障碍，就是地砖的边角。为了拼合方便，我们希望地砖各边的边长相等，正多边形的地砖就正好符合要求。剩下的问题就在角度上了。先把一块地砖铺在地上，让我们考虑地砖的一个顶点。为了铺满地面，至少要能铺满这个顶点的周围，也就是围绕顶点的360°都要被地砖覆盖上。如果地砖的铺法是边对边、角对角的话，那就意味着360°一定是正多边形地砖内角的整数倍。
正n边形的内角之和，是（n-2）×180°，所以每个内角都恰好是
因为360°应该是内角大小的整数倍，于是
必须是整数。满足这个条件的n只有3，4，6。所以，如果只用一种正多边形瓷砖的话，只有正三角形、正方形和正六边形可以没有缝隙地铺满整个地面。正方形和正六边形比较容易制造和搬运，所以一般看到的地砖都是这两种形状的。数学家将这种用少数几种图形铺满平面的方法称为图形的镶嵌。只用一种正多边形的镶嵌称为正则镶嵌，刚才的分析其实证明了正则镶嵌只有3种，分别对应正三角形、正方形和正六边形。然而并非只有正多边形才能用于镶嵌，由于一般的四边形内角和恰好是360°，通过适当的排列，也能用于镶嵌平面。实际上，如果不将范围限定在正多边形的话，如果允许同时采用多种正多边形瓷砖的话，镶嵌的方法就更多了。我们将使用不同的正多边形，但每个顶点周围的正多边形种类和次序都一致的镶嵌称为半正则镶嵌。如果不计镜像对称的话，一共有8种半正则镶嵌。无论是正则镶嵌还是半正则镶嵌，它们都有着整体的美感，这种美感来源于它们的高度对称性。
正六边形地砖
正方形地砖
对于在某种平移后保持不变的镶嵌，我们称为周期性镶嵌。正则镶嵌和半正则镶嵌都是周期性镶嵌。长久以来，人们知道的镶嵌都是周期性的，直到英国数学家、物理学家彭罗斯发现了彭罗斯镶嵌。彭罗斯镶嵌是一种非周期性镶嵌，由两种菱形组成，无论如何平行移动，都不会与自己重复。它还可以展示五重对称的准晶结构。准晶是一种奇妙的晶体结构，它的发现推翻了人们以往对矿物晶体对称性的认识，它的发现者，以色列化学家谢克特曼因此被授予2011年的诺贝尔化学奖。而正是从彭罗斯镶嵌开始的对非周期镶嵌的研究，为准晶的发现与结构的解析提供了数学基础。（方弦）
8种半正则镶嵌图
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