无限循环小数
有不少人不能理解为什么无限循环小数0.9999…=1，而认为0.9999…＜1。理由如下：0.9小于1，0.99小于1，0.9…9（小数点后无论有多少个9）也都小于1，这样，即使小数点后有无穷多个9，无限循环小数0.9999…还应该小于1，而不应该等于1。
这看上去似乎有些道理，但其实是一种误解，是由于没有理解无限循环小数的确切含义造成的。事实上，有一些巧妙的“证明”立即可以说明无限循环小数0.9999…=1。比如，
证法1：设x=0.9999…，那么，
10x=9.9999…=9+0.9999…=9+x.
这样，10x-x=9，即可求得x=1。
证法2：我们已经知道1/3=0.3333…，等式两边同乘以3，立即得到1=0.9999…。
这样的“证明”有很多，读者也可以想出自己的方法来。上述的证法1特别有意思，它不仅告诉我们0.9999…=1，而且还给出了化无限循环小数为分数的一个方法。
不过，有读者可能会说：上面的证明我认可，可是我还是觉得0.9999…要比1小，这样的证明并没有消除我原有的疑惑，也不明白为什么1/3=0.3333…。
几种著名的极限
为此，现在让我们详细解释为什么1/3=0.3333…。从这个解释中会看到一个无限循环小数是怎样形成的，正确理解无限循环小数的意义，特别是能看到它与有限小数的区别，从而最终消除大家的疑惑。现在让我们先看一看下列用3去除1的算式：
这里，我们每做一次除以3（即除式顶部每添加一个3），都用了一次10-3×3=1或10÷3=3…1。正因为每次除以3都余1，使得除以3这个过程可以无限重复地做下去，从而得到的商是一个无限循环小数0.3333…，这样我们就有了1/3=0.3333…。
如果我们仅做有限次除以3，即上面的竖式只是一个有限竖式，那么，竖式的下端总有一个余数1，这是我们能继续除下去的基础，同时也说明了0.33…3（有限个3）是小于1/3的。但是，我们在做了无限次除以3，即左面的竖式变为一个无限长的竖式后，把最右下端的1给忽略掉了，而直接让1/3=0.3333…。那么，为什么此时这个1消失了，或者说扔掉这个1是合理的呢？我们来看看每次除以3所余的1到底是什么。
如果只除以3一次，竖式
表示的是1/3=0. 3+0.1/3=0.3+（1/3）×10-1，而竖式中最下面的余数1表示的是余项（1/3）×10-1。如果除以两次3，意味着1/3=0.33+0.01/3=0.33+（1/3）×10-2，余数1表示（1/3）×10-2。一般地，除n次得到
余数1表示的是（1/3）×10-n。这时，我们将1/3分成了两个部分之和，第一部分是小数0.33…3，第二部分是余项（1/3）×10-n。现在如果除无限次，即除的次数n等于无穷大，那么，第一部分的小数就变成了无限循环小数0.3333…，而第二部分余项呢？我们立刻可以看到，它变成了0！现在明白了，原来我们用竖式做除法，除无限次后扔掉的其实不是1而是0，当然可以把它忽略掉了。而式子
就变成了1/3=0.333…+0=0.3333…。
由于次数n是一个数，而无穷大不是数，说“n等于无穷大”并不准确，数学上我们说n趋向于无穷大，记为n→∞。此时，余项（1/3）×10-n趋向于0，而小数
趋向于无限循环小数0.3333…，分别记为（1/3）×10-n→0和
→0.3333…。我们把上述过程列一个表可以看得很明白：
上述过程表明：不管小数点后有多少个3，只要是有限多个，0.33…3总小于1/3，但一旦小数点后有了无限多个3，0.3333…却是实实在在等于1/3！这一事实也说明，我们不能把对任意“有限”的情形成立的事实，简单地搬到“无限”的情形。一旦涉及无限，情况就会变得很奇特。
现在回来说明1=0.9999…就相对比较容易了，我们也只要列一个类似的表就能完全说明问题了。
影响人们承认0.9999…=1的原因，可能是将对任意有限的小数成立的事实0.99…9小于1，想当然地照搬到无限循环小数0.9999…上了。
顺便指出，每个有限小数都有一个无限循环小数和它相等，比如0.25=0.249999…。因此，分数化为小数时有时并不唯一，但每个分数都可化为无限循环小数，且是唯一的。（李忠）
【微博士】数学中的极限概念
在数学中，极限可分为数列极限和函数极限。数列极限是用来描述当一个序列的指标越来越大时，序列中元素的性质变化的趋势。例如，对于序列
随着n的增大，an的值越来越接近0，于是可以认为0是这个序列的极限。函数极限是用来描述函数的自变量接近某一个值的时候，相对应的函数值变化的趋势。例如，对于函数
随着x的增大，函数的值越来越接近0，于是可以认为0是这个函数当x增大到无穷时的极限。
【微问题】无限循环小数如何进行四则运算？
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